Логарифмическ… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043420

Логарифмическое уравнение. ОДЗ: $x+2\gt 0$ и $4x+8\gt 0$. Второе условие — это $4(x+2)\gt 0$, то есть то же самое. Итак, $x\gt -2$.

Левую часть свернём: множитель $2$ перед логарифмом становится показателем, $2\log_3(x+2)=\log_3(x+2)^{2}$.

Справа запишем единицу как логарифм: $1=\log_3 3$. Сумма логарифмов — логарифм произведения:

$$1+\log_3(4x+8)=\log_3\bigl(3(4x+8)\bigr)=\log_3(12x+24).$$

Логарифмы равны — равны и аргументы. Заметим, что $12x+24=12(x+2)$:

$$(x+2)^{2}=12(x+2).$$

По ОДЗ $x+2\gt 0$, значит, обе части можно разделить на $x+2$: $x+2=12$, откуда $x=12-2=10$.

Если бы мы раскрыли скобки, то получили бы ещё корень $x=-2$. Но он вне ОДЗ: при нём $x+2=0$, а логарифма нуля не существует. Поэтому корень единственный — $10$.

Проверим: слева $2\log_3 12=\log_3 144$, справа $1+\log_3 48=\log_3(3\cdot48)=\log_3 144$. Совпало.