Логарифмическ… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043419

Это логарифмическое уравнение. Начнём с области допустимых значений (ОДЗ): логарифм существует только от положительного числа. Значит, $2x+17\gt 0$ и $x+1\gt 0$. Второе условие строже: при $x\gt -1$ и $2x+17\gt 15\gt 0$. Итак, $x\gt -1$.

Хотим собрать каждую часть в один логарифм по основанию $5$. Единицу запишем как логарифм: $1=\log_5 5$, ведь $5^{1}=5$.

Сумма логарифмов с одинаковым основанием — логарифм произведения:

$$1+\log_5(2x+17)=\log_5 5+\log_5(2x+17)=\log_5\bigl(5(2x+17)\bigr).$$

Справа двойку перед логарифмом занесём в показатель: $2\log_5(x+1)=\log_5(x+1)^{2}$.

Логарифмы по одному основанию равны, значит, равны их аргументы:

$$5(2x+17)=(x+1)^{2}.$$

Раскроем скобки: $10x+85=x^{2}+2x+1$. Соберём всё справа: $x^{2}+2x+1-10x-85=0$, то есть

$$x^{2}-8x-84=0.$$

Дискриминант: $D=(-8)^{2}-4\cdot1\cdot(-84)=64+336=400=20^{2}$. Корни: $x=\dfrac{8+20}{2}=14$ и $x=\dfrac{8-20}{2}=-6$.

Теперь вспоминаем ОДЗ: $x\gt -1$. Корень $-6$ не подходит — при нём $x+1=-5$, а логарифма отрицательного числа нет. Остаётся единственный корень $14$.

Проверим: слева $1+\log_5(28+17)=1+\log_5 45=\log_5(5\cdot45)=\log_5 225$, справа $2\log_5 15=\log_5 15^{2}=\log_5 225$. Совпало.