Иррациональны… — Задание 7 ЕГЭ по математике №00043414

Перед нами уравнение с корнем: слева квадратный корень из $15x$, справа $1\frac{2}{3}x$. Чтобы избавиться от корня, обе части возводят в квадрат. Но сначала поймём, какие $x$ вообще допустимы.

Квадратный корень никогда не бывает отрицательным, значит, и правая часть должна быть неотрицательной: $x\geqslant 0$. При таких $x$ и под корнем стоит неотрицательное число $15x$, и обе части неотрицательны — возведение в квадрат не добавит лишних корней.

Смешанное число переведём в неправильную дробь: $1\frac{2}{3}=\dfrac{3+2}{3}=\dfrac{5}{3}$. Уравнение принимает вид

$$\sqrt{15x}=\dfrac{5}{3}x.$$

Возведём обе части в квадрат. Слева корень пропадает, а справа в квадрат возводятся и дробь, и $x$: $\left(\dfrac53\right)^{2}=\dfrac{25}{9}$.

$$15x=\dfrac{25}{9}x^{2}.$$

Делить на $x$ нельзя — так потеряется корень $x=0$. Перенесём всё в одну сторону и вынесем $x$ за скобки:

$$\dfrac{25}{9}x^{2}-15x=0\quad\Rightarrow\quad x\left(\dfrac{25}{9}x-15\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Первый корень: $x=0$. Второй: $\dfrac{25}{9}x=15$, откуда $x=15\cdot\dfrac{9}{25}=\dfrac{135}{25}=5{,}4$.

Оба корня неотрицательны, значит, оба подходят. Больший из них — $5{,}4$.

Проверим себя: при $x=5{,}4$ слева $\sqrt{15\cdot 5{,}4}=\sqrt{81}=9$, справа $\dfrac53\cdot 5{,}4=\dfrac{27}{3}=9$. Части совпали.