Задание 5 ЕГЭ по математике №00043400

Сначала разберёмся с одной мишенью. На неё даётся до двух выстрелов. Мишень останется непоражённой, только если стрелок промахнётся оба раза. Вероятность промаха одним выстрелом $1-0{,}6=0{,}4$, выстрелы независимы:

$$q=0{,}4\cdot 0{,}4=0{,}16.$$

Значит, мишень поражается с вероятностью $p=1-0{,}16=0{,}84$.

Теперь пять мишеней — это пять независимых испытаний с одинаковым успехом $p=0{,}84$. Работает схема Бернулли:

$$P_5(k)=C_5^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{5-k}.$$

Запишем отношение «ровно $2$» к «ровно $1$»:

$$\dfrac{P_5(2)}{P_5(1)}=\dfrac{C_5^{2}\cdot p^{2}\cdot q^{3}}{C_5^{1}\cdot p\cdot q^{4}}=\dfrac{C_5^{2}}{C_5^{1}}\cdot\dfrac{p}{q}.$$

Числа сочетаний: $C_5^2=\dfrac{5\cdot 4}{2}=10$, $C_5^1=5$, их отношение $2$. Отношение $\dfrac{p}{q}=\dfrac{0{,}84}{0{,}16}=\dfrac{84}{16}=5{,}25$.

$$\dfrac{P_5(2)}{P_5(1)}=2\cdot 5{,}25=10{,}5.$$

Главная ловушка — подставить в формулу $0{,}6$: успех здесь — поражённая мишень, а не удачный отдельный выстрел.