Задание 5 ЕГЭ по математике №00041927
Схема Бернулли
№2. Задание 5
ID: 00041927
В магазине куплено $18$ одинаковых луковиц гиацинтов. Вероятность того, что каждая отдельная луковица успешно прорастёт, равна $0{,}6$. Во сколько раз вероятность события «прорастёт ровно $10$ луковиц» больше вероятности события «прорастёт ровно $8$ луковиц»?
Источник: Сборник Ященко 2027
Решение
Луковицы прорастают независимо друг от друга, у каждой вероятность прорасти $p=0{,}6$, а не прорасти $q=1-0{,}6=0{,}4$. Число проросших из $18$ подчиняется схеме Бернулли.
Формула Бернулли для ровно $k$ проросших луковиц из $18$:
$$P_{18}(k)=C_{18}^{k}\cdot0{,}6^{k}\cdot0{,}4^{18-k}.$$
Для $k=10$ непроросших $18-10=8$, для $k=8$ непроросших $18-8=10$:
$P_{18}(10)=C_{18}^{10}\cdot0{,}6^{10}\cdot0{,}4^{8}$, $P_{18}(8)=C_{18}^{8}\cdot0{,}6^{8}\cdot0{,}4^{10}$.
По свойству сочетаний $C_n^k=C_n^{n-k}$ получаю $C_{18}^{10}=C_{18}^{8}$, эти множители в отношении сокращаются.
$$\dfrac{P_{18}(10)}{P_{18}(8)}=\dfrac{0{,}6^{10}\cdot0{,}4^{8}}{0{,}6^{8}\cdot0{,}4^{10}}=\dfrac{0{,}6^{2}}{0{,}4^{2}}=\dfrac{0{,}36}{0{,}16}=2{,}25.$$
Проверка: $\dfrac{0{,}6}{0{,}4}=1{,}5$ и $1{,}5^{2}=2{,}25$. Прямым счётом $C_{18}^{10}=C_{18}^{8}=43\,758$, $P_{18}(10)\approx0{,}17340$, $P_{18}(8)\approx0{,}07707$, их отношение $\approx2{,}25$.