Задание 5 ЕГЭ по математике №00043388

Каждая луковица прорастает независимо от других с вероятностью $p=0{,}7$, не прорастает — с вероятностью $q=0{,}3$. Это схема Бернулли из $6$ испытаний.

Вероятность «прорастёт ровно $k$ луковиц из $6$»:

$$P_6(k)=C_6^{k}\cdot 0{,}7^{k}\cdot 0{,}3^{6-k}.$$

Для $k=4$ и $k=3$:

$$P_6(4)=C_6^{4}\cdot 0{,}7^{4}\cdot 0{,}3^{2},\qquad P_6(3)=C_6^{3}\cdot 0{,}7^{3}\cdot 0{,}3^{3}.$$

Числа сочетаний: $C_6^4=C_6^2=\dfrac{6\cdot 5}{2}=15$ (выбрать $4$ проросшие — то же, что выбрать $2$ непроросшие), $C_6^3=\dfrac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=20$.

Составим отношение по частям: числа сочетаний дают $\dfrac{15}{20}=0{,}75$; степени $0{,}7$ дают $\dfrac{0{,}7^{4}}{0{,}7^{3}}=0{,}7$; степени $0{,}3$ дают $\dfrac{0{,}3^{2}}{0{,}3^{3}}=\dfrac{1}{0{,}3}$.

$$\dfrac{P_6(4)}{P_6(3)}=0{,}75\cdot\dfrac{0{,}7}{0{,}3}=\dfrac34\cdot\dfrac73=\dfrac{7}{4}=1{,}75.$$

Проверим смыслом: при всхожести $0{,}7$ из шести луковиц в среднем прорастает $6\cdot 0{,}7=4{,}2$, это ближе к $4$, чем к $3$, — значит, «ровно $4$» и правда вероятнее.