Задание 5 ЕГЭ по математике №00043387

Пять бросков независимы, вероятность попадания в каждом $p=0{,}8$, промаха $q=1-0{,}8=0{,}2$. Это схема Бернулли: вероятность «ровно $k$ попаданий из $5$» равна

$$P_5(k)=C_5^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{5-k},$$

где $C_5^{k}$ — число способов выбрать, какие $k$ бросков из пяти удачные.

Запишем обе вероятности, не перемножая числа заранее:

$$P_5(4)=C_5^{4}\cdot 0{,}8^{4}\cdot 0{,}2,\qquad P_5(3)=C_5^{3}\cdot 0{,}8^{3}\cdot 0{,}2^{2}.$$

Числа сочетаний: $C_5^4=5$ (выбрать один промах из пяти), $C_5^3=\dfrac{5\cdot 4}{2}=10$ (выбрать два промаха из пяти).

Делим одно на другое. У степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $\dfrac{0{,}8^{4}}{0{,}8^{3}}=0{,}8$, $\dfrac{0{,}2}{0{,}2^{2}}=\dfrac{1}{0{,}2}$.

$$\dfrac{P_5(4)}{P_5(3)}=\dfrac{5}{10}\cdot\dfrac{0{,}8}{0{,}2}=0{,}5\cdot 4=2.$$

Проверим числами: $P_5(4)=5\cdot 0{,}4096\cdot 0{,}2=0{,}4096$, $P_5(3)=10\cdot 0{,}512\cdot 0{,}04=0{,}2048$, и $0{,}4096:0{,}2048=2$ — сходится.