Задание 5 ЕГЭ по математике №00043386

Здесь работает схема Бернулли: биатлонист делает $5$ независимых выстрелов, и у каждого одна и та же вероятность успеха $p=0{,}8$. Вероятность промаха $q=1-0{,}8=0{,}2$.

Вероятность «ровно $k$ попаданий из $5$» считается так: число способов выбрать, какие выстрелы удачные, умножить на $p^{k}$ и на $q^{5-k}$:

$$P_5(k)=C_5^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{5-k}.$$

Нам нужно $k=4$. Число способов $C_5^4=5$: выбрать $4$ удачных выстрела из пяти — всё равно что выбрать один неудачный.

Степень: $0{,}8^{2}=0{,}64$, $0{,}8^{4}=0{,}64^{2}=0{,}4096$.

$$P_5(4)=5\cdot 0{,}4096\cdot 0{,}2=0{,}4096.$$

(Удобно: $5\cdot 0{,}2=1$.) Округляем до сотых: третья цифра $9$, поэтому $0{,}41$.

Проверим формулу на монете: при $p=0{,}5$ все $32$ серии из пяти выстрелов равновероятны, серий с одним промахом $5$, и формула даёт $5\cdot 0{,}5^{4}\cdot 0{,}5=\dfrac{5}{32}$ — ровно доля подходящих серий.