Задание 5 ЕГЭ по математике №00043391

Сначала найдём вероятность выигрыша для одного билета. Пусть билетов без выигрыша $x$. Выигрышных на $20$ % меньше, то есть $0{,}8x$. Всего билетов $x+0{,}8x=1{,}8x$.

Вероятность, что наугад купленный билет выигрышный:

$$\dfrac{0{,}8x}{1{,}8x}=\dfrac{8}{18}=\dfrac49,$$

а что без выигрыша — $\dfrac{x}{1{,}8x}=\dfrac{5}{9}$.

Если купить $n$ билетов, все они окажутся пустыми с вероятностью $\left(\dfrac59\right)^{n}$ (билеты независимы). Выигрышный найдётся с вероятностью $1-\left(\dfrac59\right)^{n}$, и она должна быть больше $0{,}75$. Это значит $\left(\dfrac59\right)^{n}\lt 0{,}25=\dfrac14$.

Подбираем $n$:

$n=1$: $\dfrac59\gt\dfrac14$ — мало;

$n=2$: $\dfrac{25}{81}$. Сравним с $\dfrac14$ крест-накрест: $25\cdot 4=100\gt 81$, значит $\dfrac{25}{81}\gt\dfrac14$ — мало;

$n=3$: $\dfrac{125}{729}$. Крест-накрест: $125\cdot 4=500\lt 729$, значит $\dfrac{125}{729}\lt\dfrac14$ — подходит.

Наименьшее число билетов — $3$. Проверка: шанс выигрыша при трёх билетах $1-\dfrac{125}{729}=\dfrac{604}{729}\approx 0{,}83\gt 0{,}75$, а при двух — $\dfrac{56}{81}\approx 0{,}69$, не хватает.