Задание 5 ЕГЭ по математике №00043380

Пусть $A$ — «кофе закончился в первом автомате», $B$ — «во втором». По условию $P(A)=P(B)=0{,}2$. Ищем $P(A\cap B)$ — вероятность, что кофе закончится в обоих.

Перемножить $0{,}2\cdot 0{,}2$ нельзя: никто не обещал, что автоматы опустевают независимо друг от друга.

Используем то, что дано. «Кофе остался в обоих автоматах» — это ровно противоположность событию «хотя бы в одном автомате кофе закончился». Поэтому

$$P(A\cup B)=1-0{,}65=0{,}35.$$

Формула сложения для событий, которые могут случиться одновременно: сумма $P(A)+P(B)$ учитывает общую часть дважды, поэтому её вычитают один раз:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Подставляем: $0{,}35=0{,}2+0{,}2-P(A\cap B)=0{,}4-P(A\cap B)$. Значит,

$$P(A\cap B)=0{,}4-0{,}35=0{,}05.$$

Проверим себя на $100$ днях: оба автомата пустеют в $5$ днях, только первый — в $20-5=15$, только второй — в $15$, ни один — в $65$. Всего $5+15+15+65=100$ — сходится.