Задание 5 ЕГЭ по математике №00043379

Два автомата могут опустеть, а могут и нет. Обозначим события: $A$ — «кофе закончился в первом автомате», $B$ — «кофе закончился во втором». Автоматы одинаковые, поэтому $P(A)=P(B)=0{,}3$.

Нам нужна вероятность того, что кофе закончится в обоих, то есть $P(A\cap B)$. Умножать $0{,}3$ на $0{,}3$ нельзя: в условии не сказано, что автоматы опустевают независимо, — например, в людный день кофе быстрее кончается в обоих.

Посмотрим на событие «кофе остался в обоих автоматах». Оно противоположно событию «хотя бы в одном автомате кофе закончился» — ведь если кофе остался везде, то ни один автомат не опустел, и наоборот. Значит,

$$P(A\cup B)=1-0{,}55=0{,}45.$$

Теперь формула сложения для пересекающихся событий. Если сложить $P(A)$ и $P(B)$, то дни, когда опустели оба автомата, посчитаются дважды. Поэтому одну такую часть вычитают:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Подставим числа: $0{,}45=0{,}3+0{,}3-P(A\cap B)$, то есть $0{,}45=0{,}6-P(A\cap B)$. Отсюда

$$P(A\cap B)=0{,}6-0{,}45=0{,}15.$$

Проверим себя, разложив все дни на четыре вида. Опустели оба — $0{,}15$. Только первый — $0{,}3-0{,}15=0{,}15$. Только второй — тоже $0{,}15$. Ни один — $0{,}55$. Вместе $0{,}15+0{,}15+0{,}15+0{,}55=1$ — сходится.