Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00043325

Шар вписан в цилиндр: он касается обоих оснований и боковой поверхности. Отсюда два факта: радиус основания цилиндра равен радиусу шара $R$, а высота цилиндра равна диаметру шара $2R$.

Полная поверхность цилиндра — это два круга-основания плюс боковая поверхность (развёртка — прямоугольник: длина окружности на высоту):

$$S_{\text{ц}}=2\pi R^2+2\pi R\cdot 2R=2\pi R^2+4\pi R^2=6\pi R^2.$$

По условию $6\pi R^2=24$, значит $\pi R^2=24:6=4$.

Площадь поверхности шара: $S_{\text{ш}}=4\pi R^2=4\cdot 4=16$.

Проверим: поверхность шара — это $\dfrac46=\dfrac23$ полной поверхности описанного цилиндра, и $\dfrac23\cdot 24=16$. Шар внутри — его поверхность меньше, как и должно быть.