Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00043326

Шар вписан в цилиндр, значит, радиус основания цилиндра равен радиусу шара $R$, а высота цилиндра — диаметру $2R$. Удобно представить осевое сечение: квадрат со стороной $2R$ и вписанный в него круг.

Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник: одна сторона — длина окружности основания $2\pi R$, другая — высота $2R$:

$$S_{\text{бок}}=2\pi R\cdot 2R=4\pi R^2.$$

Площадь поверхности шара — тоже $4\pi R^2$. Выходит, они равны:

$$S_{\text{ш}}=4\pi R^2=S_{\text{бок}}=24.$$

Проверим через $\pi R^2$: из $4\pi R^2=24$ следует $\pi R^2=6$, и сфера $4\cdot 6=24$. Это красивый факт, известный ещё Архимеду: сфера и боковая поверхность описанного цилиндра равновелики.