Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00043334

Пирамиды $SABC$ и $SABCDEF$ имеют общую вершину $S$, значит, и общую высоту — перпендикуляр из $S$ на плоскость основания. При одинаковой высоте объёмы относятся как площади оснований.

Сравним треугольник $ABC$ с правильным шестиугольником $ABCDEF$. Пусть $O$ — центр шестиугольника. Отрезки от центра к вершинам режут шестиугольник на $6$ одинаковых правильных треугольников.

Четырёхугольник $ABCO$ — ромб (все его стороны равны стороне шестиугольника), он состоит из двух таких треугольников. Диагональ $AC$ делит ромб пополам, поэтому треугольник $ABC$ равен по площади одному маленькому треугольнику — это $\dfrac16$ шестиугольника.

Значит, и объём $SABC$ — шестая часть объёма всей пирамиды:

$$V=6\cdot 14=84.$$

Проверим через синус: при стороне $1$ площадь $ABC$ равна $\dfrac12\cdot 1\cdot 1\cdot\sin 120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{4}$, а шестиугольника — $6\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}$. Отношение $1:6$ — совпало.