Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042364

Грани $FAD$ и $FCD$ перпендикулярны основанию, поэтому их общее ребро $DF$ перпендикулярно основанию — это высота. Диагональ квадрата со стороной $4$ равна $4\sqrt2$, значит, $DF=BD=4\sqrt2$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата. Плоскость $BDF$ содержит прямую $FB$ и точку $O$. Проведу в ней через $O$ прямую, параллельную $FB$; она пересечёт $DF$ в точке $K$. Так как $O$ — середина $BD$, отрезок $OK$ — средняя линия треугольника $BDF$, и $K$ — середина $DF$.

Плоскость $ACK$ проходит через $AC$ и содержит прямую $OK\parallel FB$, значит, она параллельна $FB$ — это и есть плоскость сечения. Сечение — треугольник $ACK$.

Прямая $AC$ перпендикулярна $BD$ (диагонали квадрата) и перпендикулярна $DF$ (высота перпендикулярна всему основанию). Значит, $AC$ перпендикулярна плоскости $BDF$, а потому и отрезку $OK$. Итак, $OK$ — высота треугольника $ACK$.

$OK$ — средняя линия, поэтому $OK=\dfrac12FB$. Из прямоугольного треугольника $FDB$:

$$FB=\sqrt{BD^2+DF^2}=\sqrt{32+32}=8,\qquad OK=4.$$

Площадь сечения:

$$S=\dfrac12\cdot AC\cdot OK=\dfrac12\cdot4\sqrt2\cdot4=8\sqrt2,\qquad S\sqrt2=8\cdot2=16.$$

Проверка $OK$ другим путём: из прямоугольного треугольника $ODK$ ($DO=2\sqrt2$, $DK=2\sqrt2$) $OK=\sqrt{8+8}=4$ — совпадает.