Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042484

Ребро $AF$ перпендикулярно основанию, поэтому треугольники $FAB$ и $FAC$ прямоугольные с прямым углом при $A$. Точки $M$ и $L$ — основания высот из прямого угла: $M$ лежит на $FB$, $L$ — на $FC$.

Высоту пирамиды $AMLC$ искать напрямую неудобно. Буду сравнивать объёмы тетраэдров с общей гранью.

Шаг 1. Объём исходной пирамиды. $S_{ABC}=\dfrac12\cdot3\cdot6=9$, и

$$V_{FABC}=\dfrac13\cdot9\cdot6=18.$$

Шаг 2. От $FABC$ к $AMCF$. Тетраэдры $ABCF$ и $AMCF$ имеют общую грань $ACF$. Точка $M$ лежит на ребре $FB$, а $F$ — в плоскости $ACF$, поэтому расстояния от $M$ и от $B$ до этой плоскости относятся как $FM:FB$. Значит, $V_{AMCF}=V_{ABCF}\cdot\dfrac{FM}{FB}$.

В прямоугольном треугольнике $FAB$: $FB^2=6^2+3^2=45$. Катет равен среднему пропорциональному гипотенузы и своей проекции на неё: $AF^2=FB\cdot FM$, поэтому $\dfrac{FM}{FB}=\dfrac{AF^2}{FB^2}=\dfrac{36}{45}=\dfrac45$.

$$V_{AMCF}=18\cdot\dfrac45=\dfrac{72}{5}.$$

Шаг 3. От $AMCF$ к $AMLC$. Тетраэдры $AMCF$ и $AMCL$ имеют общую грань $AMC$. Точка $L$ лежит на ребре $CF$, а $C$ — в плоскости $AMC$, поэтому их объёмы относятся как $CL:CF$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$: $AC^2=9+36=45$. В прямоугольном треугольнике $FAC$: $FC^2=36+45=81$, $FC=9$. Для катета $AC$ и его проекции $CL$: $AC^2=FC\cdot CL$, откуда $CL=\dfrac{45}{9}=5$ и $\dfrac{CL}{CF}=\dfrac59$.

$$V_{AMLC}=\dfrac{72}{5}\cdot\dfrac59=8.$$

Проверка координатами: $B(0;0;0)$, $A(3;0;0)$, $C(0;6;0)$, $F(3;0;6)$. Тогда $M=F+\dfrac45(B-F)=\left(\dfrac35;0;\dfrac65\right)$, $L=F+\dfrac49(C-F)=\left(\dfrac53;\dfrac83;\dfrac{10}{3}\right)$. Векторы $\overrightarrow{AM}=\left(-\dfrac{12}{5};0;\dfrac65\right)$, $\overrightarrow{AL}=\left(-\dfrac43;\dfrac83;\dfrac{10}{3}\right)$, $\overrightarrow{AC}=(-3;6;0)$; модуль их смешанного произведения равен $48$, а объём тетраэдра — его шестая часть: $V=\dfrac{48}{6}=8$ — совпадает.