Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00043318

Поверхность правильной четырёхугольной пирамиды состоит из квадрата-основания и четырёх одинаковых равнобедренных треугольников-граней.

Площадь основания: $6\cdot 6=36$.

Для площади боковой грани нужна её высота — апофема: отрезок из вершины пирамиды к середине стороны основания. В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам, поэтому получаем прямоугольный треугольник: гипотенуза — боковое ребро $5$, катет — половина стороны $3$.

$$h_{\text{гр}}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.$$

Площадь одной грани: $\dfrac12\cdot 6\cdot 4=12$. Четырёх граней: $4\cdot 12=48$.

Вся поверхность:

$$S=36+48=84.$$

Проверим: апофема $4$ меньше бокового ребра $5$ — так и должно быть, ведь катет короче гипотенузы.