Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00043319

Поверхность правильной четырёхугольной пирамиды — это квадрат в основании плюс четыре одинаковых треугольника по бокам.

Площадь основания: $10\cdot 10=100$.

Для боковой грани нужна её высота — апофема. Дана же высота пирамиды $12$. Свяжем их прямоугольным треугольником: высота пирамиды опускается в центр квадрата, от центра до середины стороны — половина стороны, $5$, а апофема соединяет вершину с этой серединой.

$$h_{\text{гр}}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.$$

Площадь одной грани: $\dfrac12\cdot 10\cdot 13=65$. Четыре грани: $4\cdot 65=260$.

$$S=100+260=360.$$

Проверим: апофема $13$ больше высоты $12$ — она наклонная, а высота — перпендикуляр, кратчайший путь до плоскости основания.