Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042366

Грани $DAC$ и $DAB$ перпендикулярны основанию, поэтому их общее ребро $AD$ перпендикулярно плоскости $ABC$.

Строю сечение. Пусть $K$ — середина $DB$.

В грани $DBC$ проведу через $K$ прямую, параллельную $BC$; она пересечёт $DC$ в точке $L$. По теореме Фалеса $L$ — середина $DC$, и $KL$ — средняя линия: $KL=\dfrac12BC=4$.

В грани $DAB$ проведу через $K$ прямую, параллельную $AD$; она пересечёт $AB$ в точке $N$ — середине $AB$, и $KN=\dfrac12AD=2\sqrt3$.

В основании через $N$ проведу прямую, параллельную $BC$; она пересечёт $AC$ в середине $M$, и $MN=\dfrac12BC=4$. Отрезок $LM$ соединяет середины $DC$ и $AC$, поэтому $LM\parallel AD$ и $LM=2\sqrt3$.

Сечение $KLMN$ — параллелограмм: $KL\parallel MN\parallel BC$, $KN\parallel LM\parallel AD$. Поскольку $AD\perp ABC$, отрезок $KN\parallel AD$ перпендикулярен прямой $MN$ основания. Значит, $KLMN$ — прямоугольник:

$$S_{KLMN}=MN\cdot KN=4\cdot2\sqrt3=8\sqrt3.$$

Высота второй пирамиды. Плоскость сечения содержит прямую $KN\parallel AD$, перпендикулярную основанию, поэтому сама перпендикулярна плоскости $ABC$ и пересекает её по прямой $MN$. Расстояние от точки $C$ основания до такой плоскости равно расстоянию от $C$ до прямой $MN$ в плоскости основания.

Опущу $CH\perp MN$. Так как $MN\parallel BC$, угол $CMH$ равен углу $ACB=60^\circ$ (соответственные углы при параллельных $MN$, $BC$ и секущей $AC$). $MC=\dfrac12AC=7$, и из прямоугольного треугольника $CMH$:

$$CH=MC\cdot\sin60^\circ=7\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{7\sqrt3}{2}.$$

Объём.

$$V=\dfrac13\cdot8\sqrt3\cdot\dfrac{7\sqrt3}{2}=\dfrac13\cdot\dfrac{8\cdot7\cdot3}{2}=28.$$

Проверка высоты: $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, параллельная $BC$, поэтому расстояние от $C$ до $MN$ равно половине расстояния от $A$ до $BC$. Расстояние от $A$ до $BC$ равно $AC\cdot\sin60^\circ=14\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=7\sqrt3$, половина — $\dfrac{7\sqrt3}{2}$, совпадает.