Пирамида

Задание №3. Стереометрия

№2. Задание 3

ID: 00042365

В основании пирамиды $$SABCD$$ лежит квадрат $$ABCD$$ со стороной, равной $$5$$ . Точка $$M$$ делит ребро $$SB$$ в отношении $$2 : 3$$ , считая от точки $$S$$ . Через точку $$M$$ проходит сечение, параллельное основанию пирамиды. Найдите его площадь.

Источник: Сборник Геометрия МГУ

Решение

Плоскость, параллельная основанию, пересекает боковые грани по прямым, параллельным сторонам основания. Поэтому сечение — квадрат, подобный $$ABCD$$ , а отсечённая сверху пирамида подобна исходной с центром подобия в вершине $$S$$ .

Коэффициент подобия равен доле ребра $$SB$$ от вершины до точки $$M$$ . Отношение $$SM:MB=2:3$$ означает, что ребро разбито на $$2+3=5$$ частей, и $$SM$$ — две из них:

$k=\dfrac{SM}{SB}=\dfrac25.$

Сторона сечения: $5\cdot\dfrac25=2$ . Площадь сечения:

$$$S=2^2=4.$$$

Проверка через отношение площадей: площади подобных фигур относятся как $$k^2$$ , и $\left(\dfrac25\right)^2\cdot25=\dfrac{4}{25}\cdot25=4$ — то же.

Ответ

Другие задания по теме «Пирамида» (8)