Пирамида — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042483

Пусть сечение проходит через меньшую диагональ $AC$. Оно делит пирамиду на треугольную пирамиду $MABC$ и пятиугольную пирамиду $MACKEF$.

У обеих частей общая вершина $M$ и одна и та же высота $MO$ (обе опираются на плоскость основания). Объём пирамиды — $\dfrac13 S h$, поэтому объёмы частей относятся как площади их оснований.

Правильный шестиугольник со стороной $a$ состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$ с общей вершиной в центре $O$.

Четырёхугольник $OABC$ — ромб, составленный из двух таких треугольников; диагональ $AC$ делит его пополам. Значит, площадь треугольника $ABC$ равна площади одного равностороннего треугольника, то есть $\dfrac16$ шестиугольника.

Оставшаяся часть основания — $\dfrac56$ шестиугольника. Отношение объёмов меньшей части к большей:

$$\dfrac{1/6}{5/6}=\dfrac15=0{,}2.$$

Проверка формулой площади. $S_{ABC}=\dfrac12a^2\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3a^2}{4}$, а шестиугольник $6\cdot\dfrac{\sqrt3a^2}{4}$. Доля $\dfrac16$ подтверждается, отношение $1:5$.