Призма — Задание 3 ЕГЭ по математике №00043328

Пять точек $A$, $B$, $D$, $E$, $C_1$: первые четыре лежат в нижнем основании, пятая — в верхнем. Значит, это четырёхугольная пирамида с основанием $ABDE$ и вершиной $C_1$.

Основание. В правильном шестиугольнике $ABDE$ — прямоугольник: он получается, если от шестиугольника отрезать два одинаковых треугольника $BCD$ и $EFA$.

Каждый такой треугольник — шестая часть шестиугольника. Объясним: если $O$ — центр, то $BCDO$ — ромб, и диагональ $BD$ делит его пополам; а ромб — это два из шести правильных треугольников, на которые центр режет шестиугольник. Половина двух шестых — одна шестая.

Значит, $S_{ABDE}=S-2\cdot\dfrac S6=\dfrac23S=\dfrac23\cdot 12=8$.

Высота пирамиды — расстояние от $C_1$ до нижнего основания, то есть боковое ребро $6$.

$$V=\dfrac13\cdot 8\cdot 6=16.$$

Проверим долей: объём призмы $12\cdot 6=72$; пирамида — это $\dfrac23\cdot\dfrac13=\dfrac29$ призмы, $72\cdot\dfrac29=16$.