Призма — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042343

Пусть сторона ромбов $a$. Угол между прямой $BA'$ и плоскостью $BDB'$ найду через синус: расстояние от $A'$ до плоскости, делённое на длину наклонной $BA'$.

Треугольники $ABD$, $ABA'$, $ADA'$ имеют по две стороны $a$ и угол $60^\circ$ между ними — все они равносторонние. Значит, $BD=BA'=DA'=a$, и $ABDA'$ — правильный тетраэдр.

Ребро $AA'$ параллельно $BB'$, лежащему в плоскости $BDB'$, поэтому $AA'$ параллельно этой плоскости, и все его точки, включая $A'$, удалены от неё одинаково.

Пусть $O$ — середина $BD$. В равносторонних треугольниках $ABD$ и $A'BD$ медианы $AO$ и $A'O$ — высоты, поэтому плоскость $AOA'$ перпендикулярна $BD$. Она пересекает плоскость $BDB'$ по прямой $l$, проходящей через $O$ параллельно $AA'$ (плоскость $BDB'$ параллельна $AA'$).

Перпендикуляр $A'P$ из $A'$ на прямую $l$ лежит в плоскости $AOA'$, значит, $A'P\perp BD$; кроме того, $A'P\perp l$. Прямые $BD$ и $l$ пересекаются и лежат в плоскости $BDB'$, поэтому $A'P$ — перпендикуляр к этой плоскости.

Длина $A'P$ равна расстоянию между параллельными прямыми $AA'$ и $l$, то есть высоте треугольника $AOA'$, опущенной из $O$ на $AA'$. Треугольник $AOA'$ равнобедренный: $AO=A'O=\dfrac{a\sqrt3}{2}$, $AA'=a$. Высота к основанию падает в его середину:

$$A'P=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}-\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{a^2}{2}}=\dfrac{a}{\sqrt2}.$$

Синус искомого угла:

$$\sin\varphi=\dfrac{A'P}{BA'}=\dfrac{a/\sqrt2}{a}=\dfrac{\sqrt2}{2},\qquad \varphi=45^\circ.$$

Проверка координатами при $a=1$: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D\left(\dfrac12;\dfrac{\sqrt3}{2};0\right)$, $A'\left(\dfrac12;\dfrac{1}{2\sqrt3};\sqrt{\dfrac23}\right)$. Нормаль к плоскости $BDB'$ — векторное произведение $\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{AA'}$; синус угла между $\overrightarrow{BA'}$ и плоскостью получается $0{,}7071\ldots=\dfrac{\sqrt2}{2}$ — тот же угол $45^\circ$.