Призма — Задание 3 ЕГЭ по математике №00043327

Четыре точки $A$, $B$, $D$, $E_1$ — это треугольная пирамида. Три из них, $A$, $B$, $D$, лежат в нижнем основании, значит, основание пирамиды — треугольник $ABD$, а вершина — $E_1$.

Высота. Точка $E_1$ лежит в верхнем основании, а оно параллельно нижнему. Расстояние между основаниями — боковое ребро правильной призмы, $6$.

Площадь треугольника $ABD$. Пусть сторона шестиугольника $a$. В правильном шестиугольнике угол $ABC=120^\circ$, а угол $CBD=30^\circ$, поэтому $\angle ABD=90^\circ$: треугольник $ABD$ прямоугольный. Его катеты — сторона $AB=a$ и короткая диагональ $BD=a\sqrt3$.

$$S_{ABD}=\dfrac12\cdot a\cdot a\sqrt3=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2.$$

А площадь всего шестиугольника — шесть правильных треугольников со стороной $a$: $6\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2=\dfrac{3\sqrt3}{2}a^2$. Сравниваем: треугольник $ABD$ — ровно треть шестиугольника, $S_{ABD}=\dfrac{18}{3}=6$.

Объём пирамиды:

$$V=\dfrac13\cdot 6\cdot 6=12.$$

Проверим долей: объём призмы $18\cdot 6=108$. Пирамида берёт треть основания и множитель $\dfrac13$, то есть $\dfrac19$ призмы: $108:9=12$.