Призма — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042342

Грань $BCC'B'$ — параллелограмм со сторонами $BC=2$ и $BB'=AA'=2$, причём $BB'\parallel AA'$. Всё решает угол между $AA'$ и $BC$.

Треугольники $A'AB$ и $A'AC$ равны по двум сторонам и углу между ними ($AB=AC=2$, $AA'$ общая, углы по $60^\circ$). Значит, $A'B=A'C$.

Пусть $K$ — середина $BC$. В равнобедренных треугольниках $ABC$ и $A'BC$ медианы $AK$ и $A'K$ являются высотами: $AK\perp BC$, $A'K\perp BC$.

Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $AA'K$, значит, перпендикулярна всей плоскости и, в частности, прямой $AA'$.

Тогда $BB'\perp BC$ (ведь $BB'\parallel AA'$), и параллелограмм $BCC'B'$ с прямым углом — прямоугольник:

$$S_{BCC'B'}=BC\cdot BB'=2\cdot2=4.$$

Проверка векторами. $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, поэтому

$$\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{AB}=2\cdot2\cos60^\circ-2\cdot2\cos60^\circ=0,$$

то есть $AA'\perp BC$ — вывод подтверждается.