Призма — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042482

Обозначу длину ребра $a$. Расстояние от $C'$ до плоскости $CA'B'$ найду через объём тетраэдра $C'CA'B'$.

Грань $ABB'A'$ — ромб со стороной $a$ и углом $60^\circ$:

$$a^2\sin60^\circ=8\sqrt3\quad\Longrightarrow\quad a^2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3\quad\Longrightarrow\quad a^2=16,\ a=4.$$

Треугольник $ABA'$ имеет две стороны $a$ и угол $60^\circ$ между ними — он равносторонний, $A'B=4$. Так же $A'C=4$. Основание $ABC$ — правильный треугольник. Значит, все шесть рёбер тетраэдра $A'ABC$ равны 4: это правильный тетраэдр.

Объём правильного тетраэдра с ребром $a$ равен $\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$:

$$V_{A'ABC}=\dfrac{64\sqrt2}{12}=\dfrac{16\sqrt2}{3}.$$

У призмы то же основание и та же высота, поэтому её объём втрое больше: $16\sqrt2$. Тетраэдр $CA'B'C'$ имеет основание $A'B'C'$ и вершину $C$ — его объём тоже треть призмы: $\dfrac{16\sqrt2}{3}$.

Найду площадь треугольника $CA'B'$. Здесь $CA'=4$, $A'B'=4$. Осталось найти $CB'$. Пусть $K$ — середина $BC$. В равносторонних треугольниках $ABC$ и $A'BC$ медианы $AK$ и $A'K$ являются высотами, поэтому прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $AA'K$, а значит, и прямой $AA'$. Тогда $BB'\perp BC$ (ведь $BB'\parallel AA'$), грань $BCC'B'$ — квадрат со стороной 4, и её диагональ

$$CB'=4\sqrt2.$$

Стороны $4$, $4$, $4\sqrt2$: так как $4^2+4^2=32=(4\sqrt2)^2$, треугольник $CA'B'$ прямоугольный с прямым углом при $A'$:

$$S_{CA'B'}=\dfrac12\cdot4\cdot4=8.$$

Расстояние $d$ от $C'$ до плоскости $CA'B'$ — высота тетраэдра, опущенная на эту грань: $V=\dfrac13 S\cdot d$:

$$d=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{3\cdot\frac{16\sqrt2}{3}}{8}=2\sqrt2,\qquad d^2=8.$$

Проверка координатами: $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(2;2\sqrt3;0)$, $\overrightarrow{AA'}=\left(2;\dfrac{2}{\sqrt3};\sqrt{\dfrac{32}{3}}\right)$. Расстояние от $C'$ до плоскости $CA'B'$ по нормали $\overrightarrow{CA'}\times\overrightarrow{CB'}$ выходит $2{,}828\ldots=2\sqrt2$, квадрат $8$.