Призма

Задание №3. Стереометрия

№2. Задание 3

ID: 00042341

В наклонном параллелепипеде $$ABCDA'B'C'D'$$ боковое ребро равно $$8$$ . Расстояние между ребром $$AA'$$ и ребрами $$BB'$$ и $$DD'$$ соответственно равно $$12$$ и $$9$$ , а расстояние между $$AA'$$ и $$CC'$$ равно $$15$$ . Найти объем параллелепипеда.

Источник: Сборник Геометрия МГУ

Решение

Объём наклонной призмы (параллелепипед — частный случай) равен площади перпендикулярного сечения, умноженной на боковое ребро: $V=S_{\perp}\cdot L$ .

Проведу плоскость, перпендикулярную боковым рёбрам; она пересечёт $$AA'$$ , $$BB'$$ , $$CC'$$ , $$DD'$$ в точках $$K$$ , $$L$$ , $$M$$ , $$N$$ . Сечение $$KLMN$$ — параллелограмм (противоположные грани параллельны).

Отрезок $$KL$$ лежит в плоскости, перпендикулярной рёбрам, поэтому $KL\perp AA'$ и $KL\perp BB'$ : его длина — расстояние между параллельными прямыми $$AA'$$ и $$BB'$$ , $$KL=12$$ . Так же $$KN=9$$ , а диагональ $$KM=15$$ .

В треугольнике $$KLM$$ стороны $$KL=12$$ , $$LM=KN=9$$ , $$KM=15$$ . Сравню квадраты:

$$$12^2+9^2=144+81=225=15^2.$$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, угол $$KLM$$ прямой, значит, $$KLMN$$ — прямоугольник:

$S_{\perp}=12\cdot9=108.$

$V=108\cdot8=864.$

Проверка площади по формуле Герона для треугольника $$KLM$$ : полупериметр $p=\dfrac{12+9+15}{2}=18$ ,

$S_{KLM}=\sqrt{18\cdot6\cdot9\cdot3}=\sqrt{2916}=54,$

а параллелограмм вдвое больше: $$108$$ — совпадает.

Ответ

864

Другие задания по теме «Призма» (8)