Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B индекс 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA индекс 1 B индекс 1 C индекс 1 D индекс 1, у которого AB равно 9, AD равно 8, AA индекс 1 равно 10.

Прямоугольный… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00043317

Задание №3. Стереометрия

Прямоугольный параллелепипед

№2. Задание 3

ID: 00043317

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ , $$B_1$$ прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ , у которого $$AB = 9$$ , $$AD = 8$$ , $$AA_1 = 10$$ .

Рисунок к заданию 3 ЕГЭ по математике — Прямоугольный параллелепипед

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Точки $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ , $$B_1$$ — четыре вершины, значит, многогранник — треугольная пирамида (тетраэдр). Удобно взять за основание треугольник $$ABC$$ , а за вершину — точку $$B_1$$ .

Основание. Треугольник $$ABC$$ — половина прямоугольника $$ABCD$$ (его отрезает диагональ $$AC$$ ). Стороны $$AB=9$$ и $$BC=AD=8$$ , угол $$B$$ прямой:

$S_{ABC}=\dfrac12\cdot 9\cdot 8=36.$

Высота. Точка $$B_1$$ стоит прямо над $$B$$ , ребро $$BB_1$$ перпендикулярно основанию, и $$BB_1=AA_1=10$$ .

Объём пирамиды — треть площади основания на высоту:

$V=\dfrac13\cdot 36\cdot 10=12\cdot 10=120.$

Проверим долей: объём параллелепипеда $9\cdot 8\cdot 10=720$ . У тетраэдра основание — половина нижней грани и множитель $\dfrac13$ , итого $\dfrac16$ объёма: $$720:6=120$$ .

Ответ

120

Другие задания по теме «Прямоугольный параллелепипед» (8)