Прямоугольный… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042329

Сначала пойму, какой фигурой будет сечение, а потом найду её площадь.

Диагональный срез $ACC'A'$ — прямоугольник, поэтому $A'C'\parallel AC$. Плоскость $BA'C'$ содержит прямую $BA'$ и прямую $A'C'$, параллельную $AC$. По признаку параллельности прямой и плоскости $AC\parallel(BA'C')$. Плоскость, проходящая через прямую $BA'$ параллельно $AC$, единственна, значит, сечение — треугольник $BA'C'$.

Его площадь найду как половину произведения стороны $A'C'$ на расстояние от $B$ до прямой $A'C'$.

Диагональ основания по теореме Пифагора:

$$A'C'=AC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10.$$

Опущу в нижнем основании перпендикуляр $BK$ на $AC$. Это высота прямоугольного треугольника $ABC$, проведённая к гипотенузе; удвоенная площадь треугольника равна и $AB\cdot BC$, и $AC\cdot BK$:

$$BK=\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=\dfrac{6\cdot8}{10}=4{,}8.$$

Пусть $K'$ — точка прямой $A'C'$, лежащая над $K$, так что $KK'=BB'$ и $KK'$ перпендикулярен основанию. Прямая $A'C'$ перпендикулярна $BK$ (ведь $A'C'\parallel AC$) и перпендикулярна $KK'$. Значит, $A'C'$ перпендикулярна плоскости $BKK'$, а с ней и отрезку $BK'$. Итак, $BK'$ — расстояние от $B$ до $A'C'$.

Считаю квадрат высоты параллелепипеда:

$$BB'^2=1{,}6^2\cdot91=2{,}56\cdot91=232{,}96.$$

Треугольник $BKK'$ прямоугольный с прямым углом при $K$:

$$BK'=\sqrt{4{,}8^2+232{,}96}=\sqrt{23{,}04+232{,}96}=\sqrt{256}=16.$$

Площадь сечения:

$$S_{BA'C'}=\dfrac12\cdot A'C'\cdot BK'=\dfrac12\cdot10\cdot16=80.$$

Проверка через проекцию. Треугольник $BA'C'$ проецируется на нижнее основание в треугольник $BAC$ площадью $\dfrac12\cdot6\cdot8=24$. Косинус угла наклона сечения к основанию равен $\dfrac{BK}{BK'}=\dfrac{4{,}8}{16}=0{,}3$, и $24:0{,}3=80$ — совпадает.