Прямоугольный… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00041892

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — данный параллелепипед, квадратная грань — $ABCD$ со стороной $a$, а $AC_1=2$ — его диагональ.

Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости $ABCD$, поэтому $AC$ — проекция диагонали $AC_1$ на эту плоскость. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией, значит, $\angle C_1AC=30^\circ$.

Треугольник $ACC_1$ прямоугольный с прямым углом $C$. Катет $CC_1$ лежит против угла $30^\circ$, поэтому он равен половине гипотенузы:

$$CC_1=AC_1\cdot\sin30^\circ=2\cdot\dfrac12=1.$$

Второй катет:

$$AC=AC_1\cdot\cos30^\circ=2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3.$$

$AC$ — диагональ квадрата $ABCD$. По теореме Пифагора $a^2+a^2=AC^2$, откуда площадь квадрата:

$$S_{ABCD}=a^2=\dfrac{AC^2}{2}=\dfrac{3}{2}=1{,}5.$$

Объём прямоугольного параллелепипеда равен площади основания, умноженной на высоту:

$$V=S_{ABCD}\cdot CC_1=1{,}5\cdot1=1{,}5.$$

Проверка: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: $a^2+a^2+CC_1^2=1{,}5+1{,}5+1=4=2^2$ — сходится.