ID: 00013467
Объем куба равен 80. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.
Источник: ФИПИ
Пусть ребро куба равно $a$, тогда $a^{3}=80$.
Секущая плоскость проходит через середины двух рёбер при одной вершине и параллельна третьему ребру — она отсекает призму, в основании которой прямоугольный треугольник с катетами $\dfrac{a}{2}$ и $\dfrac{a}{2}$.
Площадь такого основания:
$$S=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{a}{2}=\dfrac{a^{2}}{8}.$$
Высота призмы — целое ребро $a$, поэтому:
$$V=\dfrac{a^{2}}{8}\cdot a=\dfrac{a^{3}}{8}=\dfrac{80}{8}=10.$$