ID: 00013467
Объем куба равен 80. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.
Источник: ФИПИ
Пусть ребро куба равно a, тогда a^{3}=80.
Секущая плоскость проходит через середины двух рёбер при одной вершине и параллельна третьему ребру — она отсекает призму, в основании которой прямоугольный треугольник с катетами \dfrac{a}{2} и \dfrac{a}{2}.
Площадь такого основания:
S=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{a}{2}=\dfrac{a^{2}}{8}.
Высота призмы — целое ребро a, поэтому:
V=\dfrac{a^{2}}{8}\cdot a=\dfrac{a^{3}}{8}=\dfrac{80}{8}=10.