Прямоугольный… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042332

Плоскости $AB'C$ и $ABC$ пересекаются по прямой $AC$. Построю линейный угол двугранного угла при этом ребре.

Пусть $O$ — центр квадрата, точка пересечения его диагоналей. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому $BO\perp AC$.

Отрезки $AB'$ и $CB'$ — диагонали равных граней $ABB'A'$ и $CBB'C'$, значит, $AB'=CB'$ и треугольник $AB'C$ равнобедренный. Его медиана $B'O$ является и высотой: $B'O\perp AC$.

Значит, угол $B'OB$ — линейный угол между плоскостью $AB'C$ и основанием.

Треугольник $B'BO$ прямоугольный: ребро $BB'$ перпендикулярно основанию. Катет $BO$ — половина диагонали квадрата:

$$BO=\dfrac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2.$$

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему:

$$\operatorname{tg}\angle B'OB=\dfrac{BB'}{BO}=\dfrac{\sqrt6}{3}:\sqrt2=\dfrac{\sqrt6}{3\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3}{3}.$$

Тангенс равен $\dfrac{\sqrt3}{3}$ у угла $30^\circ$.

Проверка через площади. Площадь проекции $S_{ABC}=\dfrac12\cdot2\cdot2=2$. Длина $B'O=\sqrt{2+\dfrac69}=\sqrt{\dfrac83}=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt3}$, поэтому $S_{AB'C}=\dfrac12\cdot2\sqrt2\cdot\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt3}=\dfrac{4}{\sqrt3}$. Отношение $2:\dfrac{4}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{2}=\cos30^\circ$ — сходится.