ID: 00013466
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=5$, $BC=4$, $AA_1=3$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $D$, $A_1$, $B_1$.
Источник: ФИПИ
Нижняя грань $ABCD$ — целый прямоугольник $5\times4$, а из верхней грани в многогранник входит только ребро $A_1B_1$. Такое тело — «клин».
Проведём плоскость через точки $A_1$, $B_1$, $C$, $D$ — она разрезает параллелепипед на две части, и наш клин — одна из них.
Эти две части симметричны относительно центра параллелепипеда, поэтому их объёмы равны: клин — ровно половина параллелепипеда.
Объём параллелепипеда — произведение трёх измерений, берём его половину:
$$V=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot4\cdot3=30.$$