Прямоугольный… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00041893

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — данный параллелепипед, квадратная грань — $ABCD$ со стороной $a$, диагональ $AC_1=\sqrt8$.

Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости $ABCD$, значит, $AC$ — проекция $AC_1$ на эту плоскость, и угол диагонали с плоскостью — это $\angle C_1AC=45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ACC_1$ (прямой угол $C$) острый угол $45^\circ$, поэтому второй острый угол тоже $45^\circ$ и треугольник равнобедренный: $CC_1=AC$.

По теореме Пифагора $CC_1^2+AC^2=AC_1^2=8$, то есть $2AC^2=8$, $AC^2=4$:

$$AC=CC_1=2.$$

$AC$ — диагональ квадрата, а диагональ квадрата в $\sqrt2$ раз больше стороны: $a=\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$, площадь квадрата $a^2=2$.

Объём равен площади основания, умноженной на высоту $CC_1$:

$$V=a^2\cdot CC_1=2\cdot2=4.$$

Проверка: $a^2+a^2+CC_1^2=2+2+4=8=\left(\sqrt8\right)^2$ — сходится с длиной диагонали.