Прямоугольный… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042333

Пусть $E$ и $F$ — середины рёбер $AD$ и $CD$. Сечение — треугольник $D'EF$, а с основанием его плоскость пересекается по прямой $EF$.

Треугольник $EDF$ прямоугольный (угол $D$ прямоугольника равен $90^\circ$), его катеты — половины сторон прямоугольника:

$$DE=3\sqrt5,\qquad DF=6\sqrt5$$

(или наоборот — на ответ это не влияет). Гипотенуза по теореме Пифагора:

$$EF=\sqrt{45+180}=\sqrt{225}=15.$$

Опущу из $D$ перпендикуляр $DH$ на $EF$. Удвоенная площадь треугольника $EDF$ равна и $DE\cdot DF$, и $EF\cdot DH$:

$$DH=\dfrac{3\sqrt5\cdot6\sqrt5}{15}=\dfrac{90}{15}=6.$$

Ребро $DD'$ перпендикулярно основанию, а $DH\perp EF$. По теореме о трёх перпендикулярах $D'H\perp EF$. Значит, угол $D'HD$ — линейный угол между плоскостью сечения и основанием.

В прямоугольном треугольнике $D'DH$ катеты $DH=6$ и $DD'=8$, гипотенуза

$$D'H=\sqrt{36+64}=10.$$

Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$$\cos\angle D'HD=\dfrac{DH}{D'H}=\dfrac{6}{10}=0{,}6.$$

Проверка площадями. Площадь проекции $S_{EDF}=\dfrac12\cdot3\sqrt5\cdot6\sqrt5=45$, площадь сечения $S_{D'EF}=\dfrac12\cdot15\cdot10=75$. Отношение $\dfrac{45}{75}=0{,}6$ — то же число.