Прямоугольный… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00043316

Сначала поймём, что за многогранник. Точки $A$, $B$, $B_1$, $A_1$ лежат в одной грани параллелепипеда — это прямоугольник $ABB_1A_1$. Пятая точка $C$ лежит вне этой грани. Значит, перед нами четырёхугольная пирамида с основанием $ABB_1A_1$ и вершиной $C$.

Площадь основания — прямоугольник со сторонами $AB=6$ и $AA_1=7$: $6\cdot 7=42$.

Высота пирамиды — расстояние от $C$ до плоскости $ABB_1A_1$. Ребро $BC$ перпендикулярно этой грани (параллелепипед прямоугольный), поэтому высота равна $BC$. А $BC=AD=9$ — противоположные стороны прямоугольника $ABCD$.

Объём пирамиды — треть произведения площади основания на высоту:

$$V=\dfrac13\cdot 42\cdot 9=14\cdot 9=126.$$

Проверим долей: объём всего параллелепипеда $6\cdot 9\cdot 7=378$, а наша пирамида — его треть: $378:3=126$. Так и должно быть: основание пирамиды — целая грань, высота — целое ребро, и остаётся множитель $\dfrac13$.