Комбинации… — Задание 3 ЕГЭ по математике №00043314

Куб вписан в шар — значит, все восемь вершин куба лежат на поверхности шара. Самые далёкие друг от друга вершины куба — концы его диагонали, и она проходит через центр шара.

Поэтому диагональ куба равна диаметру шара: $d=2R=2\cdot 4{,}5\sqrt3=9\sqrt3$.

Теперь свяжем диагональ куба с ребром $a$. Диагональ грани по теореме Пифагора: $\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2$. Диагональ куба — гипотенуза треугольника с катетами $a\sqrt2$ и $a$:

$$d=\sqrt{2a^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt3.$$

Приравниваем: $a\sqrt3=9\sqrt3$, откуда $a=9$.

Объём куба: $V=a^3=9^3=9\cdot 9\cdot 9=729$.

Проверим: при $a=9$ диагональ $9\sqrt3$, половина — $4{,}5\sqrt3$, это и есть радиус шара из условия.