Задание 2 ЕГЭ по математике №00043305

Косинус угла между векторами — это скалярное произведение, делённое на произведение длин. Сначала координаты векторов.

«Конец минус начало». По рисунку $\vec a$ идёт из точки $(3;\,-1)$ в точку $(1;\,5)$ — на $2$ клетки влево и на $6$ вверх; $\vec b$ — из точки $(-7;\,1)$ в точку $(5;\,-3)$ — на $12$ вправо и на $4$ вниз.

$$\vec a=(-2;\;6),\qquad \vec b=(12;\;-4).$$

Скалярное произведение:

$$\vec a\cdot\vec b=(-2)\cdot 12+6\cdot(-4)=-24-24=-48.$$

Длины: $|\vec a|=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}$, $|\vec b|=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}$. Произведение $\sqrt{40\cdot 160}=\sqrt{6400}=80$.

$$\cos\angle(\vec a;\vec b)=\dfrac{-48}{80}=-0{,}6.$$

Проверим упрощением: $\vec a=2\cdot(-1;\,3)$, $\vec b=4\cdot(3;\,-1)$, и $\cos=\dfrac{-3-3}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}}=-\dfrac{6}{10}=-0{,}6$. Совпало.