Задание 2 ЕГЭ по математике №00043304

Косинус угла между векторами: скалярное произведение делим на произведение длин. Сначала снимем координаты.

«Конец минус начало». По рисунку $\vec a$ идёт из точки $(-1;\,-4)$ в точку $(-4;\,2)$ — на $3$ клетки влево и на $6$ вверх; $\vec b$ — из точки $(-3;\,5)$ в точку $(5;\,1)$ — на $8$ вправо и на $4$ вниз.

$$\vec a=(-3;\;6),\qquad \vec b=(8;\;-4).$$

Скалярное произведение:

$$\vec a\cdot\vec b=(-3)\cdot 8+6\cdot(-4)=-24-24=-48.$$

Длины: $|\vec a|=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}$, $|\vec b|=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}$. Их произведение $\sqrt{45\cdot 80}=\sqrt{3600}=60$.

$$\cos\alpha=\dfrac{-48}{60}=-0{,}8.$$

Проверим упрощением: $\vec a=3\cdot(-1;\,2)$, $\vec b=4\cdot(2;\,-1)$. Положительные множители угол не меняют, поэтому $\cos\alpha=\dfrac{-2-2}{\sqrt5\cdot\sqrt5}=-\dfrac45=-0{,}8$. Угол тупой — и на рисунке стрелки «разбегаются» в почти противоположные стороны.