Задание 2 ЕГЭ по математике №00043295

Ищем косинус угла между векторами: скалярное произведение делим на произведение длин.

Скалярное произведение по координатам:

$$\vec a\cdot\vec b=(-14)\cdot 3+2\cdot(-21)=-42-42=-84.$$

Длины:

$$|\vec a|=\sqrt{(-14)^2+2^2}=\sqrt{196+4}=\sqrt{200},\qquad |\vec b|=\sqrt{3^2+(-21)^2}=\sqrt{9+441}=\sqrt{450}.$$

Корни по отдельности неудобные, поэтому перемножим их сразу — произведение корней равно корню из произведения:

$$|\vec a|\cdot|\vec b|=\sqrt{200\cdot 450}=\sqrt{90\,000}=300.$$

Теперь косинус:

$$\cos\varphi=\dfrac{-84}{300}=-0{,}28.$$

Проверим себя: $\sqrt{200}=10\sqrt2$, $\sqrt{450}=15\sqrt2$, и $10\sqrt2\cdot 15\sqrt2=150\cdot 2=300$ — знаменатель тот же. Косинус отрицательный, значит угол тупой: $\vec a$ смотрит влево, а $\vec b$ — вниз-вправо.