Задание 2 ЕГЭ по математике №00043294

Косинус угла между векторами находим по правилу: скалярное произведение делим на произведение длин.

$$\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}.$$

Скалярное произведение по координатам:

$$\vec a\cdot\vec b=(-6)\cdot 12+(-8)\cdot 9=-72-72=-144.$$

Длины векторов — корень из суммы квадратов координат:

$$|\vec a|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10,\qquad |\vec b|=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15.$$

Подставляем:

$$\cos\varphi=\dfrac{-144}{10\cdot 15}=\dfrac{-144}{150}=-0{,}96.$$

Проверим другим способом. Заметим, что $\vec a=-2\cdot(3;\,4)$, а $\vec b=3\cdot(4;\,3)$. Растяжение вектора угол не меняет, а умножение на отрицательное число разворачивает вектор и меняет знак косинуса. Для векторов $(3;\,4)$ и $(4;\,3)$ косинус равен $\dfrac{12+12}{5\cdot 5}=\dfrac{24}{25}=0{,}96$, а из-за разворота $\vec a$ знак меняется, и получаем $-0{,}96$.