Задание 2 ЕГЭ по математике №00043292

Нужно скалярное произведение $\vec a$ на сумму $\vec b+\vec c$. Сначала снимем координаты всех трёх стрелок, потом сложим $\vec b$ и $\vec c$, потом умножим.

Координаты — «конец минус начало». По рисунку:

$\vec a$ идёт из точки $(-1;\,-2)$ в точку $(-7;\,3)$ — на $6$ клеток влево и на $5$ вверх, $\vec a=(-6;\,5)$.

$\vec b$ идёт из точки $(5;\,-4)$ в точку $(5;\,1)$ — строго вверх на $5$ клеток, $\vec b=(0;\,5)$.

$\vec c$ идёт из точки $(1;\,4)$ в точку $(-6;\,-1)$ — на $7$ влево и на $5$ вниз, $\vec c=(-7;\,-5)$.

Складываем $\vec b$ и $\vec c$ покоординатно:

$$\vec b+\vec c=(0+(-7);\;5+(-5))=(-7;\;0).$$

Скалярное произведение — первая на первую плюс вторая на вторую:

$$\vec a\cdot(\vec b+\vec c)=(-6)\cdot(-7)+5\cdot 0=42+0=42.$$

Проверим, раскрыв скобку: $\vec a\cdot\vec b=(-6)\cdot 0+5\cdot 5=25$, $\vec a\cdot\vec c=(-6)\cdot(-7)+5\cdot(-5)=42-25=17$. Сумма $25+17=42$ — совпало.