Задание 2 ЕГЭ по математике №00043289

Ищем длину вектора $6\vec a-\vec b$. Снимаем координаты по подписям осей (пунктиры подводят концы стрелок к осям), затем собираем нужный вектор.

Вектор $\vec a$ идёт из точки $(2;\,4)$ в точку $(5;\,1)$, вектор $\vec b$ — из точки $(3;\,3)$ в точку $(1;\,0)$ на оси $x$.

$$\vec a=(5-2;\;1-4)=(3;\;-3),\qquad \vec b=(1-3;\;0-3)=(-2;\;-3).$$

Растягиваем $\vec a$ в $6$ раз: $6\vec a=(18;\,-18)$. Вычитаем $\vec b$ — обе его координаты отрицательные, поэтому вычитание превращается в прибавление:

$$6\vec a-\vec b=(18-(-2);\;-18-(-3))=(20;\;-15).$$

$$|6\vec a-\vec b|=\sqrt{20^2+(-15)^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25.$$

Проверим другим путём: $(20;\,-15)=5\cdot(4;\,-3)$, а длина вектора $(4;\,-3)$ равна $\sqrt{16+9}=5$. Значит, длина $5\cdot 5=25$ — совпало.