Задание 2 ЕГЭ по математике №00043285

Нам нужна длина вектора $1{,}5\vec b-\vec a$. План: снять координаты векторов с сетки, собрать координаты нужного вектора и найти его длину.

Координаты — «конец минус начало». По рисунку $\vec a$ идёт из точки $(3;\,1)$ в точку $(2;\,-2)$: на $1$ клетку влево и на $3$ вниз. Вектор $\vec b$ идёт из точки $(-1;\,-1)$ в точку $(-5;\,5)$: на $4$ влево и на $6$ вверх.

$$\vec a=(-1;\;-3),\qquad \vec b=(-4;\;6).$$

Умножаем $\vec b$ на $1{,}5$ — каждую координату: $1{,}5\cdot(-4)=-6$, $1{,}5\cdot 6=9$, то есть $1{,}5\vec b=(-6;\,9)$.

Вычитаем $\vec a$ покоординатно:

$$1{,}5\vec b-\vec a=(-6-(-1);\;9-(-3))=(-5;\;12).$$

Длина — корень из суммы квадратов координат:

$$|1{,}5\vec b-\vec a|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.$$

Проверим: $13^2=169$, а длина чуть больше модуля самой большой координаты $12$ — так и должно быть.