Задание 2 ЕГЭ по математике №00043282

Косинус угла между векторами находим по правилу: скалярное произведение делим на произведение длин. Значит, сначала нужны координаты векторов.

Координаты вектора — «конец минус начало». По рисунку $\vec a$ идёт из точки $(-5;\,-4)$ в точку $(-2;\,2)$, а $\vec b$ — из точки $(-6;\,4)$ в точку $(5;\,2)$.

$$\vec a=(-2-(-5);\;2-(-4))=(3;\;6),\qquad \vec b=(5-(-6);\;2-4)=(11;\;-2).$$

Скалярное произведение:

$$\vec a\cdot\vec b=3\cdot 11+6\cdot(-2)=33-12=21.$$

Длины: $|\vec a|=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}$, $|\vec b|=\sqrt{121+4}=\sqrt{125}$. Перемножим корни сразу:

$$|\vec a|\cdot|\vec b|=\sqrt{45\cdot 125}=\sqrt{5625}=75.$$

$$\cos\angle(\vec a;\vec b)=\dfrac{21}{75}=0{,}28.$$

Проверим себя: $75^2=5625$ — корень верный. Косинус положительный, угол острый: $\vec a$ смотрит вверх-вправо, $\vec b$ — вправо и чуть вниз, между ними меньше прямого угла.