Задание 2 ЕГЭ по математике №00043281

Косинус угла между векторами связан со скалярным произведением. Правило такое: косинус угла равен скалярному произведению, делённому на произведение длин векторов.

$$\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}.$$

Скалярное произведение в координатах — это сумма произведений одноимённых координат (первую на первую, вторую на вторую):

$$\vec a\cdot\vec b=4\cdot 7+(-3)\cdot 24=28-72=-44.$$

Теперь длины — корень из суммы квадратов координат:

$$|\vec a|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5,\qquad |\vec b|=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25.$$

Подставляем в формулу:

$$\cos\varphi=\dfrac{-44}{5\cdot 25}=\dfrac{-44}{125}=-0{,}352.$$

Проверим себя: косинус получился отрицательным — значит, угол тупой. И правда, $\vec a$ смотрит вправо-вниз, а $\vec b$ — круто вправо-вверх, угол между ними больше прямого. Модуль $0{,}352$ меньше единицы, как и положено косинусу.