Задание 2 ЕГЭ по математике №00043278

Нам нужна длина вектора $3\vec a-2\vec b$. Длину считают по координатам, поэтому план простой: сначала находим координаты этого вектора, потом его длину.

Умножить вектор на число — значит умножить на это число каждую его координату:

$$3\vec a=(3\cdot(-3);\;3\cdot 2)=(-9;\;6),\qquad 2\vec b=(2\cdot(-1);\;2\cdot(-9))=(-2;\;-18).$$

Вычитаем векторы тоже покоординатно — первую из первой, вторую из второй. Внимательно со знаками: вычесть отрицательное число — то же, что прибавить положительное.

$$3\vec a-2\vec b=(-9-(-2);\;6-(-18))=(-9+2;\;6+18)=(-7;\;24).$$

Длина вектора — это корень из суммы квадратов его координат (по сути теорема Пифагора: координаты — катеты, длина — гипотенуза):

$$|3\vec a-2\vec b|=\sqrt{(-7)^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25.$$

Проверим себя: длина не может быть меньше модуля любой координаты. У нас самая большая координата по модулю — $24$, и $25$ чуть больше неё, потому что вторая координата $-7$ маленькая. Всё сходится.