Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00043271

В равнобедренной трапеции диагонали равны и наклонены к основаниям под одинаковыми углами. Если они ещё и перпендикулярны, треугольники, которые они образуют с основаниями, — прямоугольные и равнобедренные, поэтому каждая диагональ составляет с основанием угол $45^\circ$.

Опустим высоту из верхней вершины $B$ на нижнее основание $AD$, основание высоты — $H$. В треугольнике $BHD$ (где $BD$ — диагональ) угол при $D$ равен $45^\circ$, а угол при $H$ прямой. Значит, он равнобедренный: $HD=BH=48$.

А отрезок $HD$ в равнобедренной трапеции равен полусумме оснований: от $D$ до $H$ укладывается половина нижнего основания плюс половина верхнего. Полусумма оснований — это и есть средняя линия.

Поэтому средняя линия равна высоте: $48$.

Проверим числом: возьмём основания $40$ и $56$ (полусумма $48$). Тогда $HD=\dfrac{40+56}{2}=48=BH$ — угол $45^\circ$, и диагонали действительно перпендикулярны.