Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042462

Площадь трапеции — полусумма оснований на высоту. Основание $AD=16$ дано, нужно найти основание $BC$ и высоту.

Треугольники $ABO$ и $BOC$ имеют общую высоту из вершины $B$ на прямую $AC$, поэтому их площади относятся как основания:

$$\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{S_{ABO}}{S_{BOC}}=2.$$

Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны (вертикальные углы и накрест лежащие при $AD\parallel BC$), поэтому $\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{AO}{OC}=2$, и $BC=\dfrac{16}{2}=8$.

Угол $ADB$ равен углу $CBD$ как накрест лежащий: $\angle ADB=60^\circ$. Пусть $AB=x$, тогда $BD=40-x$. В треугольнике $ABD$ против угла $D$ лежит сторона $AB$, запишу для неё теорему косинусов:

$$x^2=(40-x)^2+16^2-2\cdot16\cdot(40-x)\cdot\cos60^\circ.$$

Раскрываю скобки: $x^2=1600-80x+x^2+256-16(40-x)=x^2+1216-64x$.

Слагаемые $x^2$ слева и справа одинаковые, остаётся $64x=1216$, $x=19$. Значит, $AB=19$, $BD=40-19=21$.

Высоту $BH$ найду из прямоугольного треугольника $BHD$ с углом $60^\circ$ при вершине $D$:

$$BH=BD\cdot\sin60^\circ=\dfrac{21\sqrt3}{2}.$$

$$S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot BH=\dfrac{16+8}{2}\cdot\dfrac{21\sqrt3}{2}=12\cdot\dfrac{21\sqrt3}{2}=126\sqrt3.$$

Это ответ исходной задачи. В ответ идёт $\dfrac{S}{\sqrt3}=126$.

Проверю координатами. Положу $A(0;0)$, $D(16;0)$. Отрезок $DB$ образует с $DA$ угол $60^\circ$ и равен $21$, поэтому $B\left(16-\dfrac{21}{2};\dfrac{21\sqrt3}{2}\right)=\left(5{,}5;\dfrac{21\sqrt3}{2}\right)$. Тогда $AB^2=5{,}5^2+\dfrac{441\cdot3}{4}=30{,}25+330{,}75=361$, $AB=19$, и $AB+BD=19+21=40$ — условие выполнено. Высота трапеции — ордината точки $B$, $\dfrac{21\sqrt3}{2}$, совпадает.