Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042461

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности, $\alpha$ — угол при большем основании, $c$ — боковая сторона, $a$ и $b$ — основания.

В трапецию вписана окружность, значит, суммы противоположных сторон равны: $a+b=2c$. Тогда периметр

$$P=(a+b)+2c=4c.$$

По условию $P=8\cdot2r=16r$, поэтому $4c=16r$ и $c=4r$.

Окружность касается обоих оснований, поэтому высота трапеции равна диаметру: $h=2r$. Опущу высоту из конца меньшего основания. В получившемся прямоугольном треугольнике боковая сторона — гипотенуза, а высота — катет, лежащий против угла $\alpha$:

$$\sin\alpha=\dfrac{h}{c}=\dfrac{2r}{4r}=\dfrac12.$$

Угол $\alpha$ острый, поэтому $\alpha=30^\circ$.

Проверю на конкретной трапеции. Пусть $r=1$: высота $2$, боковая сторона $\dfrac{2}{\sin30^\circ}=4$, сумма оснований $2\cdot4=8$, периметр $8+8=16$, диаметр $2$ — ровно в $8$ раз меньше. И другим путём: высота $2r$ вдвое короче боковой стороны $4r$, а катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла $30^\circ$.